Diskrete Mittelwert Filter Transfer Funktion

Einführung in die Filterung 9.3.1 Einführung in die Filterung Im Bereich der Signalverarbeitung geht es bei der Konstruktion von digitalen Signalfiltern um die Unterdrückung bestimmter Frequenzen und die Verstärkung anderer. Ein vereinfachtes Filtermodell ist, wo das Eingangssignal modifiziert wird, um das Ausgangssignal unter Verwendung der Rekursionsformel zu erhalten. Die Implementierung von (9-23) ist einfach und erfordert nur Startwerte, wird dann durch einfache Iteration erhalten. Da die Signale einen Startpunkt haben müssen, ist es üblich, dies und für zu verlangen. Wir betonen dieses Konzept durch die folgende Definition. Definition 9.3 (Kausalsequenz) Angesichts der Eingabe - und Ausgabe-Sequenzen. Wenn und für, so heißt die Folge kausal. Angesichts der Kausalfolge ist es einfach, die Lösung zu (9-23) zu berechnen. Verwenden Sie die Tatsache, dass diese Sequenzen kausal sind: Der allgemeine iterative Schritt ist 9.3.2 Die Basisfilter Die folgenden drei vereinfachten Basisfilter dienen als Illustrationen. (I) Nullfilter, (beachten Sie, dass). (Ii) Boosting Up Filter (beachten Sie, dass). (Iii) Kombinationsfilter. Die Übertragungsfunktion für diese Modellfilter hat die folgende allgemeine Form, in der die z-Transformationen der Eingangs - und Ausgangssequenzen sind bzw. sind. Im vorigen Abschnitt wurde erwähnt, daß die allgemeine Lösung einer homogenen Differenzengleichung nur dann stabil ist, wenn die Nullstellen der charakteristischen Gleichung innerhalb des Einheitskreises liegen. In ähnlicher Weise, wenn ein Filter stabil ist, müssen die Pole der Übertragungsfunktion alle innerhalb des Einheitskreises liegen. Bevor wir die allgemeine Theorie entwickeln, wollen wir die Amplitudenantwort untersuchen, wenn das Eingangssignal eine lineare Kombination von und ist. Die Amplitudenantwort für die Frequenz verwendet das komplexe Einheitssignal und ist definiert als Die Formel wird nach einigen wenigen einleitenden Beispielen genau erklärt werden. Beispiel 9.21. Angesichts des Filters. 9.21 (a). Zeigen Sie, dass es ein Nullabgleich-Filter für die Signale ist und berechnen Sie die Amplitudenantwort. 9.21 (b). Berechnen Sie die Amplitudenantworten und untersuchen Sie das gefilterte Signal für. 9.21 (c). Berechnen Sie die Amplitudenantworten und untersuchen Sie das gefilterte Signal für. Abbildung 9.4. Die Amplitudenreaktion für. Abbildung 9.5. Eingang und Ausgang. Abbildung 9.6. Eingang und Ausgang. Lösung 9.21. Beispiel 9.22. Angesichts des Filters. 9.22 (a). Zeigen Sie, dass es ein Verstärkungsfilter für die Signale ist und berechnen Sie die Amplitudenantwort. 9.22 (b). Berechnen Sie die Amplitudenreaktionen und untersuchen Sie das gefilterte Signal für. Abbildung 9.7. Die Amplitudenreaktion für. Abbildung 9.8. Eingang und Ausgang. Entdecken Sie die Lösung 9.22. 9.3.3 Die allgemeine Filtergleichung Die allgemeine Form einer Ordnungsfilterdifferenzgleichung ist wo und sind Konstanten. Beachten Sie sorgfältig, dass die Begriffe sind von der Form und wo und, was diese Begriffe zeitlich verzögert. Die kompakte Form des Schreibens der Differenzgleichung ist, wo das Eingangssignal modifiziert wird, um das Ausgangssignal unter Verwendung der Rekursionsformel zu erhalten. Der Teil gibt die Signale aus und verstärkt Signale. Bemerkung 9.14. Die Formel (9-31) heißt die Rekursionsgleichung und die Rekursionskoeffizienten sind und. Es zeigt explizit, daß das vorliegende Ausgangssignal eine Funktion der vergangenen Werte ist, für die gegenwärtige Eingabe und die vorhergehenden Eingaben für. Die Sequenzen können als Signale betrachtet werden, und sie sind Null für negative Indizes. Mit diesen Informationen können wir nun die allgemeine Formel für die Übertragungsfunktion definieren. Verwenden der zeitverzögerten Verschiebungseigenschaft für kausale Sequenzen und Nehmen der z-Transformation von jedem Term in (9-31). Erhalten wir Wir können aus den Summationen herausfaktorieren und dies in einer äquivalenten Form schreiben Aus Gleichung (9-33) erhalten wir, was zu der folgenden wichtigen Definition führt. Definition 9.4 (Übertragungsfunktion) Die Übertragungsfunktion, die der Ordnungsdifferenz-Gleichung (8) entspricht, ergibt sich aus der Formel (9-34) die Übertragungsfunktion für ein unendliches Impulsantwortfilter (IIR-Filter). Im speziellen Fall, wenn der Nenner einheitlich ist, wird er die Übertragungsfunktion für ein Finite-Impuls-Response-Filter (FIR-Filter). Definition 9.5 (Unit-Sample Response) Die Sequenz, die der Transferfunktion entspricht, wird als Unit-Sample-Antwort bezeichnet. Theorem 9.6 (Output Response) Das Ausgangssignal des mit einem Eingangssignal versehenen Filters (10) ergibt sich aus der inversen z-Transformation und in der Faltungsform ist gegeben. Eine andere wichtige Verwendung der Übertragungsfunktion besteht darin, zu untersuchen, wie sich ein Filter auswirkt Verschiedenen Frequenzen. In der Praxis wird ein kontinuierliches Zeitsignal mit einer Frequenz abgetastet, die mindestens das Doppelte der höchsten Eingangssignalfrequenz ist, um Frequenzumkippen oder Aliasing zu vermeiden. Das liegt daran, dass die Fourier-Transformation eines abgetasteten Signals periodisch mit der Periode ist, obwohl wir dies hier nicht beweisen werden. Aliasing verhindert eine genaue Wiederherstellung des ursprünglichen Signals aus seinen Proben. Nun kann gezeigt werden, daß das Argument der Fourier-Transformation über die Formel (9-37), auf der die normierte Frequenz heißt, auf den z-Ebene-Einheitskreis abbildet. Daher ist die auf dem Einheitskreis ausgewertete z-Transformation auch periodisch, mit Ausnahme der Periode. Definition 9.6 (Amplitudenreaktion) Die Amplitudenantwort ist definiert als die Größe der Übertragungsfunktion, die bei dem komplexen Einheitssignal ausgewertet wird. Die Formel ist (9-38) über das Intervall. Der Fundamentalsatz der Algebra impliziert, dass der Zähler Wurzeln hat (Nullen genannt) und der Nenner Wurzeln hat (Pole genannt). Die Nullen können in konjugierten Paaren auf dem Einheitskreis gewählt werden. Für die Stabilität müssen alle Pole innerhalb des Einheitskreises und für. Ferner werden die Pole als reelle Zahlen und in konjugierten Paaren gewählt. Dies garantiert, daß die Rekursionskoeffizienten alle reellen Zahlen sind. IIR-Filter können alle Pol oder Null-Pol und Stabilität ist ein Anliegen FIR-Filter und alle Null-Filter sind immer stabil. 9.3.4 Aufbau der Filter In der Praxis wird die Rekursionsformel (10) zur Berechnung des Ausgangssignals verwendet. Das digitale Filterdesign basiert jedoch auf der obigen Theorie. Man beginnt, indem man die Position der Nullen und Pole entsprechend den Anforderungen des Filterdesigns und der Konstruktion der Übertragungsfunktion auswählt. Da die Koeffizienten in real sind, müssen alle Nullen und Pole mit einer imaginären Komponente in konjugierten Paaren auftreten. Dann werden die Rekursionskoeffizienten in (13) identifiziert und in (10) zum Schreiben des rekursiven Filters verwendet. Sowohl der Zähler als auch der Nenner von können in quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten und möglicherweise einem oder zwei linearen Faktoren mit reellen Koeffizienten faktorisiert werden. Die folgenden Prinzipien werden verwendet, um zu konstruieren. (I) Nullabgleichfaktoren Um die Signale herauszufiltern, verwenden Sie Faktoren der Form im Zähler von. Sie werden zum Begriff beitragen (ii) Boosting Up Factors Um die Signale zu verstärken und Faktoren des FormFrequenzverhaltens des Running Average Filters zu verwenden, ist der Frequenzgang eines LTI-Systems die DTFT der Impulsantwort, die Impulsantwort eines L - gleitender Durchschnitt ist Da der gleitende Mittelwert FIR ist, reduziert sich der Frequenzgang auf die endliche Summe Wir können die sehr nützliche Identität verwenden, um den Frequenzgang zu schreiben, wo wir ae minus jomega haben lassen. N 0 und M L minus 1. Wir können an der Größe dieser Funktion interessiert sein, um zu bestimmen, welche Frequenzen durch den Filter ungedämpft werden und welche gedämpft werden. Unten ist ein Diagramm der Größe dieser Funktion für L 4 (rot), 8 (grün) und 16 (blau). Die horizontale Achse reicht von Null bis pi Radiant pro Probe. Man beachte, daß der Frequenzgang in allen drei Fällen eine Tiefpaßcharakteristik aufweist. Eine konstante Komponente (Nullfrequenz) im Eingang durchläuft das Filter ungedämpft. Bestimmte höhere Frequenzen, wie z. B. pi 2, werden durch das Filter vollständig eliminiert. Wenn es aber die Absicht war, ein Tiefpassfilter zu entwerfen, dann haben wir das nicht sehr gut gemacht. Einige der höheren Frequenzen werden nur um einen Faktor von etwa 110 (für den 16-Punkte-gleitenden Durchschnitt) oder 13 (für den vier-Punkte-gleitenden Durchschnitt) gedämpft. Wir können viel besser als das. (1-exp (-iomega)) H8 (18) (1-exp (- & omega; & sub4; (1-exp (-iomega)) (1-exp (-iomega)) (1-exp (& ndash; H6)) Achse (0, pi, 0, 1) Copyright-Kopie 2000- - Universität von Kalifornien, Berkeley Ich brauche einen gleitenden Mittelfilter, der eine Grenzfrequenz von 7,8 Hz hat. Ich habe gleitende durchschnittliche Filter vor verwendet, aber soweit ich weiß, ist der einzige Parameter, der eingegeben werden kann, die Anzahl der zu durchschnittlichen Punkte. Wie kann sich dies auf eine Grenzfrequenz beziehen Die Inverse von 7,8 Hz beträgt 130 ms und Im arbeiten mit Daten, die bei 1000 Hz abgetastet werden. Bedeutet dies implizieren, dass ich sollte eine gleitende durchschnittliche Filter-Fenstergröße von 130 Proben verwenden, oder gibt es etwas anderes, das ich hier fehlte, ist der Filter, der in der Zeitdomäne zu entfernen verwendet wird Das Rauschen hinzugefügt und auch für Glättung Zweck, aber wenn Sie die gleiche gleitende durchschnittliche Filter im Frequenzbereich für Frequenztrennung dann Leistung wird am schlimmsten. So dass in diesem Fall nutzen Frequenzbereich Filter ndash user19373 Feb 3 16 at 5:53 Der gleitende Durchschnitt Filter (manchmal auch umgangssprachlich als Boxcar-Filter) hat eine rechteckige Impulsantwort: Oder anders ausgedrückt: Denken Sie daran, dass eine diskrete Zeit Frequenz Frequenzgang Gleich der diskreten Zeit-Fourier-Transformation ihrer Impulsantwort ist, können wir sie wie folgt berechnen: Was am meisten für Ihren Fall interessiert ist, ist die Amplitudenreaktion des Filters H (omega). Mit ein paar einfachen Manipulationen, können wir, dass in einer einfacher zu verstehen: Das sieht vielleicht nicht leichter zu verstehen. Allerdings wegen Eulers Identität. Erinnern, dass: Daher können wir schreiben, die oben als: Wie ich schon sagte, was Sie wirklich besorgt ist die Größe der Frequenzgang. So können wir die Größenordnung der oben genannten zu vereinfachen, um es weiter zu vereinfachen: Hinweis: Wir sind in der Lage, die exponentiellen Begriffe aus, weil sie nicht beeinflussen die Größe des Ergebnisses e 1 für alle Werte von Omega. Da xy xy für irgendwelche zwei endlichen komplexen Zahlen x und y ist, können wir schließen, daß die Anwesenheit der exponentiellen Terme die Gesamtgrößenreaktion nicht beeinflußt (sie beeinflussen die Systemphasenreaktion). Die resultierende Funktion innerhalb der Größenklammern ist eine Form eines Dirichlet-Kerns. Sie wird manchmal als periodische sinc-Funktion bezeichnet, weil sie der sinc-Funktion etwas im Aussehen ähnelt, aber stattdessen periodisch ist. Wie auch immer, da die Definition der Cutoff-Frequenz etwas unterspezifiziert ist (-3 dB Punkt -6 dB Punkt erste sidelobe Null), können Sie die obige Gleichung, um für was auch immer Sie brauchen, zu lösen. Im Einzelnen können Sie Folgendes tun: Stellen Sie H (omega) auf den Wert ein, der der Filterantwort entspricht, die Sie bei der Cutoff-Frequenz wünschen. Set Omega gleich der Cutoff-Frequenz. Um eine kontinuierliche Frequenz auf den diskreten Zeitbereich abzubilden, denken Sie daran, dass osga 2pi frac, wobei fs Ihre Abtastrate ist. Finden Sie den Wert von N, der Ihnen die beste Übereinstimmung zwischen der linken und der rechten Seite der Gleichung gibt. Das sollte die Länge des gleitenden Durchschnitts sein. Wenn N die Länge des gleitenden Mittelwerts ist, dann ist eine angenäherte Grenzfrequenz F (gültig für N gt 2) bei der normalisierten Frequenz Fffs: Der Kehrwert dieser Gleichung ist für große N asymptotisch korrekt und hat etwa 2 Fehler Für N2 und weniger als 0,5 für N4. P. S. Nach zwei Jahren, hier schließlich, was war der Ansatz folgte. Das Ergebnis beruht auf der Annäherung des MA-Amplitudenspektrums um f0 als Parabel (2. Ordnung) nach MA (Omega) ca. 1 (frac - frac) Omega2, die in der Nähe des Nulldurchgangs von MA (Omega) Frac durch Multiplikation von Omega mit einem Koeffizienten, der MA (Omega), ca. 10.907523 (frac-frac) Omega2 ergibt. Die Lösung von MA (Omega) - frac 0 liefert die obigen Ergebnisse, wobei 2pi F Omega. Alle der oben genannten bezieht sich auf die -3dB abgeschnitten Frequenz, das Thema dieser Post. Manchmal ist es zwar interessant, ein Dämpfungsprofil im Stoppband zu erhalten, das vergleichbar ist mit dem eines 1. Ordnung IIR-Tiefpaßfilters (Einpol-LPF) mit einer gegebenen -3dB Grenzfrequenz (ein solcher LPF wird auch Leaky-Integrator genannt, Mit einem Pol nicht genau an DC, aber nah an ihm). Tatsächlich haben sowohl das MA und das 1. Ordnung IIR LPF -20dBdecade Slope im Stopband (man braucht ein größeres N als das, das in der Figur verwendet wird, N32, um dies zu sehen), während aber MA spektrale Nullen bei FkN und a hat 1f Evelope hat das IIR-Filter nur ein 1f-Profil. Wenn man ein MA-Filter mit ähnlichen Rauschfilterungs-Fähigkeiten wie dieses IIR-Filter erhalten möchte und die gleichgeschnittenen 3dB-Grenzfrequenzen anpaßt, würde er beim Vergleich der beiden Spektren erkennen, daß die Stopbandwelligkeit des MA-Filters endet 3dB unter dem des IIR-Filters. Um die gleiche Stoppbandwelligkeit (d. h. dieselbe Rauschleistungsdämpfung) wie das IIR-Filter zu erhalten, können die Formeln wie folgt modifiziert werden: Ich fand das Mathematica-Skript zurück, wo ich die Unterbrechung für mehrere Filter einschließlich des MA-Werts berechnete. Das Ergebnis basiert auf der Annäherung des MA-Spektrums um f0 als Parabel nach MA (Omega) Sin (OmegaN2) Sin (Omega2) Omega 2piF MA (F) ca. N16F2 (N-N3) pi2. Und Ableitung der Kreuzung mit 1sqrt von dort. Ndash Massimo Jan 17 16 am 2:08